Calculer l’aire d’un triangle : méthodes et astuces

Le calcul de l’aire d’un triangle est une compétence essentielle en géométrie, que ce soit à l’école ou dans la vie courante. Il existe plusieurs méthodes pour déterminer cette aire, dont certaines sont plus simples et rapides que d’autres. Dans cet article, vous découvrirez les différentes approches qui vous permettront de calculer facilement l’aire d’un triangle, quelle que soit sa forme et sa taille.

La formule classique : base x hauteur / 2

La méthode la plus connue pour calculer l’aire d’un triangle consiste à utiliser la formule Aire = Base x Hauteur / 2. Cette formule fonctionne pour tous les types de triangles, qu’ils soient isocèles, rectangles,  équilatéraux ou scalènes. Pour appliquer cette formule, vous devez connaître deux éléments clés du triangle :

• La base : il s’agit de la longueur d’un des côtés du triangle, généralement le côté sur lequel repose le triangle (c’est-à-dire le côté opposé au sommet).
• La hauteur : il s’agit de la distance entre le sommet du triangle et la base, perpendiculaire à cette dernière. En d’autres termes, c’est la « hauteur » du triangle lorsqu’il est imaginé comme un objet en trois dimensions.

Une fois que vous avez ces informations, il suffit de multiplier la base par la hauteur, puis de diviser le résultat par 2 pour obtenir l’aire du triangle.

Exemple :

Supposons que nous ayons un triangle dont la base mesure 10 cm et la hauteur 5 cm. En utilisant la formule de base x hauteur / 2, on obtient :

Aire = (10cm x 5cm) / 2 = 50cm² / 2 = 25cm²

Le triangle a donc une aire de 25cm².

L’aire d’un triangle équilatéral

Les triangles équilatéraux constituent un cas particulier, car leurs trois côtés sont de longueurs égales. Pour calculer l’aire d’un triangle équilatéral, il vous suffit de connaître la longueur d’un seul côté et d’utiliser la formule suivante : Aire = (racine carrée de 3) / 4 x (côté)² .

Exemple :

Soit un triangle équilatéral dont chaque côté mesure 6 cm. La formule devient :

Aire = (racine carrée de 3) / 4 x (6cm)² = (1,732) / 4 x 36cm² ≈ 18,48 cm²

L’aire de ce triangle équilatéral est donc d’environ 18,48cm².

La méthode des coordonnées

Une autre approche pour calculer l’aire d’un triangle consiste à utiliser les propriétés géométriques des coordonnées de ses points lorsqu’ils sont répertoriés dans un plan cartésien. Pour appliquer cette méthode, vous devez connaître les coordonnées(x,y) des trois sommets du triangle.

En notant les coordonnées des sommets A (x1, y1), B (x2, y2) et C (x3, y3), la formule pour calculer l’aire devient :

Aire = |(x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)) / 2|

Notez que le symbole « | » indique ici la valeur absolue, ce qui signifie que vous prenez toujours un résultat positif, quelle que soit l’orientation du triangle dans le plan cartésien.

Exemple :

Les points A, B et C ont respectivement pour coordonnées (0, 0), (10, 0) et (-2, 4). On utilise la formule suivante :

Aire = |(0(0-4) + 10(4-0) – 2(0-0))/2| = |(-20)/2| = 10 cm²

L’aire de ce triangle est donc de 10cm².

La formule de Héron pour les triangles quelconques

Pour terminer, la formule de Héron est une autre méthode permettant decalculer l’aire d’un triangle quelconque, à condition de connaître les longueurs de ses trois côtés. Cette formule est la suivante :

Aire = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]

Où s désigne le demi-périmètre du triangle et a, b et c représentent les longueurs des côtés :

s = (a + b + c) / 2

Exemple :

Un triangle ayant pour côtés a=7cm, b=4cm et c=6cm aurait un demi-périmètre s égal à :

s = (7+4+6)/2 = 17/2 = 8,5

En utilisant la formule de Héron, on obtient :

Aire = √[8,5(1,5)(4,5)(2,5)] ≈ 11,98 cm²

Ce triangle a donc une aire d’environ 11,98cm².

Maintenant que vous connaissez plusieurs méthodes pour calculer l’aire d’un triangle, vous pouvez choisir celle qui convient le mieux à votre situation ou qui vous paraît la plus simple à appliquer. N’hésitez pas à partager ces astuces avec vos amis et à mettre en pratique vos nouvelles compétences en géométrie !